# Statistique
$E$ : Ensemble de tous les éléments de l'expérience
$P(u) = \frac{\#u}{\#E}$ : Probabilité que $u$ soit vrai dans l'ensemble $E$.
$P(v) = \frac{\#v}{\#E}$ : Probabilité que $v$ soit vrai dans l'ensemble $E$.
$P(u|v) = \frac{\# (u \space \&\& \space v)}{\#v}$ : Probabilité que $u$ soit vrai dans l'ensemble des $v$ vrai.
$P(u,v) = \frac{\#(u \space \&\& \space v)}{\# E}$ : Probabilité que $u$ et $v$ soient vrai dans l'ensemble $E$

$$\begin{align}
Mean &= \sum^{n}_{k=0} P_{x}\cdot X_{k} \\
Variance &= \sum^{n}_{k=0}(X_{k}-Mean)^{2}\cdot P_{x} \\
ecart-type &= \sqrt{ Variance }
\end{align}$$

## Densité
![Density Graph](medias/density_graph.png)
$$\Delta = \frac{V_{min}-V_{max}}{2^{nBits}}$$

# Digitalisation d'un signal

![transmission_process-digitalisation_signal.png](medias%2Ftransmission_process-digitalisation_signal.png)

## Quantification
Résolution : $2^{\text{nbits}}$

> [!NOTE|label:MATLAB - A2]
> 
>![transmission_process-matlab-quantification.png](medias%2Ftransmission_process-matlab-quantification.png)
> 
>![transmission_process-matlab-quantification_params.png](medias%2Ftransmission_process-matlab-quantification_params.png)




### Déquantification

> [!NOTE|label:MATLAB - A2]
> 
>![transmission_process-matlab-dequantification.png](medias%2Ftransmission_process-matlab-dequantification.png)
>$$\begin{align} \\
\text{Add:  }
\frac{\frac{Q_{P}}{2^{double(Q_{Nb})-1}}}{2}
\text{  for offset and take middle of value}
\end{align}$$
>
>
>![transmission_process-matlab-dequantification_params.png](medias%2Ftransmission_process-matlab-dequantification_params.png)


## Échantillonnage
Mesure à chaque clock
$f_{s} = 2*f_{out}$
$f_{s}$ : Fréquence de sample
> [!NOTE|label:MATLAB - A1]
> 
>![transmission_process-matlab-echantiollnage.png](medias%2Ftransmission_process-matlab-echantiollnage.png)

### Reconstruction
Passe-bas avec $f_{c} = \frac{f_{s}}{2}$
$f_{c}$ : Fréquence de coupure
> [!NOTE|label:MATLAB - A1]
> 
>![transmission_process-matlab-reconstruction.png](medias%2Ftransmission_process-matlab-reconstruction.png)






# Contrôle d'erreur
## ARQ
<u>Automatic Repeat reQuest</u>
Technique pour contrôler les erreurs en communication bidirectionnelle
Avec un canal de retour comme "stop & go" ou "TCP"

![transmission_process-controle_erreur-arq.png](medias%2Ftransmission_process-controle_erreur-arq.png)

## FEC
<u>Forward Error Coding</u>
Technique pour contrôler les erreurs en communication monodirectionnelle :
- Envoi de 3 fois ou n (impair) fois chaque bit
- Avec code de Hamming
  
![transmission_process-controle_erreur-fec.png](medias%2Ftransmission_process-controle_erreur-fec.png)

  <u>Exemple FEC 1/3 (1 bit de donnée pour 3 bit transmit)</u>
  $E_{0}$ : 0 bit faux
  $E_{1}$ : 1 bit faux
  $E_{2}$ : 2 bits faux
  $E_{3}$ : 3 bits faux
  $P(E_{0})=(1-BER)\cdot(1-BER)\cdot(1-BER)$
  $P(E_{1})=(1-BER)\cdot(1-BER)\cdot BER$
  $P(E_{2})=(1-BER)\cdot BER \cdot BER$
  $P(E_{3})=BER\cdot BER\cdot BER$

|bit 1 | bit 2 | bit 3 | Résultat | P(juste) |
|---|---|---|---|---|
|J|J|J|Juste|$P(E_{0})$|
|J|J|F|Juste|$P(E_{1})$|
|J|F|J|Juste|$P(E_{1})$|
|J|F|F|Faux|$P(E_{2})$|
|F|J|J|Juste|$P(E_{1})$|
|F|J|F|Faux|$P(E_{2})$|
|F|F|J|Faux|$P(E_{2})$|
|F|F|F|Faux|$P(E_{3})$|
Pour la probabilité d'erreur total, on additionne les faux résultats. Soit :
$$\begin{align}
P(E) &= P(E_{2}) + P(E_{2}) + P(E_{2}) +P(E_{3}) \\
&= 3\cdot P(E_{2})+P(E_{3}) \\
&= 3\cdot (1-BER)\cdot BER \cdot BER + BER\cdot BER\cdot BER \\
&= 3\cdot BER^{2}-2\cdot BER^{3}
\end{align}$$

### MATLAB (B1-B2)
> [!NOTE|label:Codage du canal]
> 
>![transmission_process-matlab-codage_canal.png](medias%2Ftransmission_process-matlab-codage_canal.png)

> [!NOTE|label:Décodage du canal]
> 
>![transmission_process-matlab-decodage_canal.png](medias%2Ftransmission_process-matlab-decodage_canal.png)





# Codage physique

Bits $\to$ Symbol

<u>Symbol :</u>
Représentation d'un ou plusieurs bits dans le monde réel

## BPSK
2 symboles - 1 bit / symbole

![transmission_process-codage_physique-bpsk.png](medias%2Ftransmission_process-codage_physique-bpsk.png)

## QPSK
4 symboles - 2 bits / symbole

![transmission_process-codage_physique-qpsk.png](medias%2Ftransmission_process-codage_physique-qpsk.png)

# Transmission Radio

$B$ : bit rate $[\frac{bit}{s}]$ <br>
$S$ : Symbole rate $\left[ \frac{symbol}{s} \right]$ <br>
$B_{Ba}$ : Baseband bandwidth $[Hz]$ - Largeur de la plage de fréquence du signal avant modulation <br>
$B_{Br}$ : Broadband bandwidth $[Hz]$ - Largeur de la plage de fréquence totale disponible pour la modulation (ou du signal modulé) <br>


## AM - ASK
Modulation de l'Amplitude

![transmission_process-transmission_radio-am.png](medias%2Ftransmission_process-transmission_radio-am.png)

$$\begin{align}
B_{Ba} &= \frac{1}{2}\left[ \frac{Hz}{\frac{symbol}{s}} \right] *S\left[ \frac{symbol}{s} \right]\\
B_{Br} &= 2*B_{Ba}
\end{align}$$

## FM - FSK
Modulation de la Fréquence

![transmission_process-transmission_radio-fm.png](medias%2Ftransmission_process-transmission_radio-fm.png)

$\beta$ : Index de modulation <br>
$f_{c}$ : Fréquence de la porteuse <br>
$f_{0}$ : Fréquence pour le symbole `0` <br>
$f_{1}$ : Fréquence pour le symbole `1` <br>

$$\begin{align}
B_{Ba} &= \frac{1}{2}\left[ \frac{Hz}{\frac{symbol}{s}} \right] *S\left[ \frac{symbol}{s} \right]\\
\beta &= \frac{2\Delta f}{S} \\
f_{0} &= f_{c}-\Delta f \\
B_{Br} &= 2*B_{Ba} + 2*\Delta f = (1+\beta)*S
\end{align}$$

## PM - PSK
Modulation de la Phase

![transmission_process-transmission_radio-pm.png](medias%2Ftransmission_process-transmission_radio-pm.png)

$$\begin{align}
B_{Ba} &= \frac{1}{2}\left[ \frac{Hz}{\frac{symbol}{s}} \right] *S\left[ \frac{symbol}{s} \right]\\
B_{Br} &= 2*B_{Ba}
\end{align}$$