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# Statistique
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$E$ : Ensemble de tous les éléments de l'expérience
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$P(u) = \frac{\#u}{\#E}$ : Probabilité que $u$ soit vrai dans l'ensemble $E$.
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$P(v) = \frac{\#v}{\#E}$ : Probabilité que $v$ soit vrai dans l'ensemble $E$.
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$P(u|v) = \frac{\# (u \space \&\& \space v)}{\#v}$ : Probabilité que $u$ soit vrai dans l'ensemble des $v$ vrai.
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$P(u,v) = \frac{\#(u \space \&\& \space v)}{\# E}$ : Probabilité que $u$ et $v$ soient vrai dans l'ensemble $E$
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$$\begin{align}
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Mean &= \sum^{n}_{k=0} P_{x}\cdot X_{k} \\
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Variance &= \sum^{n}_{k=0}(X_{k}-Mean)^{2}\cdot P_{x} \\
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ecart-type &= \sqrt{ Variance }
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\end{align}$$
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## Densité
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$$\Delta = \frac{V_{min}-V_{max}}{2^{nBits}}$$
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# Digitalisation d'un signal
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## Quantification
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Résolution : $2^{\text{nbits}}$
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> [!NOTE|label:MATLAB - A2]
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>
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### Déquantification
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> [!NOTE|label:MATLAB - A2]
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>
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>$$\begin{align} \\
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\text{Add: }
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\frac{\frac{Q_{P}}{2^{double(Q_{Nb})-1}}}{2}
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\text{ for offset and take middle of value}
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\end{align}$$
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>
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## Échantillonnage
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Mesure à chaque clock
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$f_{s} = 2*f_{out}$
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$f_{s}$ : Fréquence de sample
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> [!NOTE|label:MATLAB - A1]
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### Reconstruction
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Passe-bas avec $f_{c} = \frac{f_{s}}{2}$
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$f_{c}$ : Fréquence de coupure
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> [!NOTE|label:MATLAB - A1]
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# Contrôle d'erreur
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## ARQ
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<u>Automatic Repeat reQuest</u>
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Technique pour contrôler les erreurs en communication bidirectionnelle
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Avec un canal de retour comme "stop & go" ou "TCP"
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## FEC
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<u>Forward Error Coding</u>
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Technique pour contrôler les erreurs en communication monodirectionnelle :
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- Envoi de 3 fois ou n (impair) fois chaque bit
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- Avec code de Hamming
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<u>Exemple FEC 1/3 (1 bit de donnée pour 3 bit transmit)</u>
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$E_{0}$ : 0 bit faux
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$E_{1}$ : 1 bit faux
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$E_{2}$ : 2 bits faux
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$E_{3}$ : 3 bits faux
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$P(E_{0})=(1-BER)\cdot(1-BER)\cdot(1-BER)$
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$P(E_{1})=(1-BER)\cdot(1-BER)\cdot BER$
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$P(E_{2})=(1-BER)\cdot BER \cdot BER$
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$P(E_{3})=BER\cdot BER\cdot BER$
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|bit 1 | bit 2 | bit 3 | Résultat | P(juste) |
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|---|---|---|---|---|
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|J|J|J|Juste|$P(E_{0})$|
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|J|J|F|Juste|$P(E_{1})$|
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|J|F|J|Juste|$P(E_{1})$|
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|J|F|F|Faux|$P(E_{2})$|
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|F|J|J|Juste|$P(E_{1})$|
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|F|J|F|Faux|$P(E_{2})$|
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|F|F|J|Faux|$P(E_{2})$|
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|F|F|F|Faux|$P(E_{3})$|
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Pour la probabilité d'erreur total, on additionne les faux résultats. Soit :
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$$\begin{align}
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P(E) &= P(E_{2}) + P(E_{2}) + P(E_{2}) +P(E_{3}) \\
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&= 3\cdot P(E_{2})+P(E_{3}) \\
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&= 3\cdot (1-BER)\cdot BER \cdot BER + BER\cdot BER\cdot BER \\
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&= 3\cdot BER^{2}-2\cdot BER^{3}
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\end{align}$$
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### MATLAB (B1-B2)
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> [!NOTE|label:Codage du canal]
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> [!NOTE|label:Décodage du canal]
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# Codage physique
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Bits $\to$ Symbol
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<u>Symbol :</u>
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Représentation d'un ou plusieurs bits dans le monde réel
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## BPSK
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2 symboles - 1 bit / symbole
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## QPSK
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4 symboles - 2 bits / symbole
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# Transmission Radio
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$B$ : bit rate $[\frac{bit}{s}]$ <br>
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$S$ : Symbole rate $\left[ \frac{symbol}{s} \right]$ <br>
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$B_{Ba}$ : Baseband bandwidth $[Hz]$ - Largeur de la plage de fréquence du signal avant modulation <br>
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$B_{Br}$ : Broadband bandwidth $[Hz]$ - Largeur de la plage de fréquence totale disponible pour la modulation (ou du signal modulé) <br>
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## AM - ASK
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Modulation de l'Amplitude
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$$\begin{align}
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B_{Ba} &= \frac{1}{2}\left[ \frac{Hz}{\frac{symbol}{s}} \right] *S\left[ \frac{symbol}{s} \right]\\
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B_{Br} &= 2*B_{Ba}
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\end{align}$$
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## FM - FSK
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Modulation de la Fréquence
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$\beta$ : Index de modulation <br>
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$f_{c}$ : Fréquence de la porteuse <br>
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$f_{0}$ : Fréquence pour le symbole `0` <br>
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$f_{1}$ : Fréquence pour le symbole `1` <br>
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$$\begin{align}
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B_{Ba} &= \frac{1}{2}\left[ \frac{Hz}{\frac{symbol}{s}} \right] *S\left[ \frac{symbol}{s} \right]\\
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\beta &= \frac{2\Delta f}{S} \\
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f_{0} &= f_{c}-\Delta f \\
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B_{Br} &= 2*B_{Ba} + 2*\Delta f = (1+\beta)*S
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\end{align}$$
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## PM - PSK
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Modulation de la Phase
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$$\begin{align}
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B_{Ba} &= \frac{1}{2}\left[ \frac{Hz}{\frac{symbol}{s}} \right] *S\left[ \frac{symbol}{s} \right]\\
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B_{Br} &= 2*B_{Ba}
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\end{align}$$
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