refactor and add some miss equations

infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage.md

@@ -54,6 +54,7 @@ et en compression de données.
 > La transformée de Fourier rapide (FFT) est un algorithme efficace pour calculer la DFT. Elle est largement utilisée dans
 > de nombreuses applications, notamment en traitement du signal et en compression de données.
 
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 # Réponse impulsionnelle
 La réponse impulsionnelle $h[k]$ d'un système discret LIT est sa réponse à l'impulsion unitaire à l'origine $δ[k]$.
@@ -115,6 +116,9 @@ On peut retrouver la réponse impulsionnelle à partir de ces facteurs.
 La somme décomposée est appelée *équation aux différences*.
 
 Pour obtenir la réponse indicielle depuis la réponse impulsionnelle, on utilise la somme cumulée de la réponse impulsionnelle.
+On peut aussi mathématiquement obtenir la réponse impulsionnelle en multipliant la réponse indicielle par Heaviside ($F(z)\cdot \varepsilon(z)$).
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 # Transformée en Z
 La transformée en Z, également connue sous le nom de transformée en fréquence Z, est une technique de traitement du
@@ -147,7 +151,7 @@ $x[k]$ : Fonction du [Tableau des transformées en Z](/infotro/Eln/Ztransform) o
 On a aussi la propriété suivante :
 $$\mathcal{Z}\{x[k-n]\}=z^{-n}\cdot X(z)$$
 
-## Marche à suivre
+## Marche à suivre - Transformée en *Z*
 1. Avoir une équation aux différences.
 2. Pour chaque terme de l'équation, appliquer la transformée en Z.
 Avec : 
@@ -188,6 +192,18 @@ Les zéros et les pôles de la fonction de transfert donnent donc :
 $$H(z) = K \frac{(z-o_{1})\cdot (z-o_{2})\cdot \space \dots \space \cdot (z-o_{N})}{(z-p_{1})\cdot (z-p_{2})\cdot \space \dots \space \cdot (z-p_{M}) }\quad o_{n}, p_{n} \space \text{complexes}$$
 
 
+## Marche à suivre - Transformée en *Z* inverse
+1. Avoir une fonction de transfert : $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$.
+2. Effectuer le numérateur et le dénominateur.
+3. Mettre les $z$ en puissance négative : $\cdot \frac{z^{-1}}{z^{-1}}$
+4. Effectuer le produit en croix.
+5. Pour chaque terme, appliquer la transformée en Z inverse.
+   - $F(z) \implies f[k]$
+   - $F(z)\cdot z^{-n} \implies f[k-n]$
+6. Isoler $y[k]$. Et on a notre équation aux différences.
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 # Approximation bilinéaire
 L'approximation bilinéaire est une technique utilisée pour convertir une fonction de transfert continue en une fonction
 de transfert discrète.
@@ -198,7 +214,26 @@ $$\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) = 2\left(x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{
 donne l'approximation
 $\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) \approx 2x$
 
-#TODO add formule from lab6-filters for bilinear approximation
+## Approximation bilinéaire - Pôles et zéros
+$$p_{di} = e^{p_{ai} \cdot T} \qquad z_{di} = e^{z_{ai} \cdot T} $$
+- $k_a$, $p_{ai}$ and $z_{ai}$ sont le gain, les pôles et les zéros de notre filtre analogique
+  Attention, $k_a$ n'est pas le gain DC
+- $k_d$, $p_{di}$ and $z_{di}$ sont le gain, des pôles et les zéros de notre filtre numérique.
+Pour un filtre passe bas sans zéros, le gain numérique est:
+$$k_{d} = k_{a}\cdot \prod_{i} \frac{1-e^{P_{ai}\cdot T}}{P_{ai}}$$
+
+On peut appliquer la transformation bilinéaire aux pôles et zéros du filtre analogique pour obtenir les pôles et zéros du filtre numérique.
+$$
+p_{di} = \frac{1+p_{ai}\cdot \frac{T}{2}}{1-p_{ai}\cdot \frac{T}{2}}
+\qquad \qquad
+z_{di} = \frac{1+z_{ai}\cdot \frac{T}{2}}{1-z_{ai}\cdot \frac{T}{2}}
+$$
+Pour un filtre passe bas, le gain "bilinear" est :
+$$k_{d} = k_{a}\cdot \frac{1}{\prod_{i}\left( \frac{2}{T}-p_{ai} \right)}$$
+
+Pour passer de $\omega_o'$ à $\omega_o$, on utilise la relation suivante :
+$$\omega_{0} = 2f_{s}\tan\left( \frac{\omega_{0}'}{2f_{s}} \right)$$
+
 
 ## Autres méthodes d'approximation d'un système continu LIT par un syst. discret
 On détermine la réponse impulsionnelle du système discret LIT à partir de celle du système continu en appliquant la relation :
@@ -212,3 +247,6 @@ $$x'[k]= \frac{x[k]-x[k-1]}{T_{s}}$$
 
 
 
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