add IIR filters

infotro/Eln/README.md

@@ -6,4 +6,5 @@
 - [AD/DA](/infotro/Eln/ADDA)
 - [Sigma / Delta](/infotro/Eln/Sigma-Delta)
 - [Transformée en Z](/infotro/Eln/Ztransform)
-- [Signaux et échantillonnage](/infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage)
+- [Signaux et échantillonnage](/infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage)
+- [Filtres numériques](/infotro/Eln/filtres_numeriques)

infotro/Eln/filtres_numeriques.md

@@ -0,0 +1,82 @@
+<header><h1>
+Filtres numériques
+</h1></header>
+
+-----------
+
+# Filtres numériques récursifs (IIR)
+
+Les filtres numériques récursifs (IIR) sont des filtres numériques qui utilisent des rétroactions.
+Ils sont basés sur des équations aux différences.
+Les filtres récursifs sont utilisés pour des applications où la phase du filtre n'est pas critique.
+Ils sont utilisés dans les télécommunications et la régulation.
+
+Les intérêts des filtres récursifs :
+- Leur faible coût en calcul
+- Faible retard (télécommunication et la régulation)
+
+Les inconvénients des filtres récursifs :
+- Ils possèdent une phase non-linéaire
+- Ils peuvent avoir une instabilité numérique
+
+Fonction de transfert en $z$ :
+$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-1}}{1+a_{1}z^{-1}+\dots+a_{n}z^{-n}}$$
+Numérisation par conversion DA et AD d'un filtre analogique :
+$$F(z) = (1-z^{-1})Z \left\{ L^{-1}\left[ \frac{F(s)}{s} \right] \right\} $$
+La fonction de transfert en *z* permet ensuite de tirer l'équation aux différences qui servira à réaliser le filtre sous forme d'un algorithme récursif
+$$y[k]= b_{n}u[k-n]+ \dots + b_{1}u[k-1]+b_{0}u[k]-a_{n}y[k-n]-\dots-a_{1}y[k-1]$$
+
+Si on souhaite connaître la réponse fréquentielle d'un filtre, il suffit de remplacer l'opérateur *z* par sa transformée de Fourier :
+$$a\cdot z^{n}=a\cdot \exp(n\cdot s\cdot T_{s})=a\cdot \exp(n\cdot \mathbf{j}\omega T_{s})$$
+$T_{s}$ : La période d'échantillonnage
+
+Comme l’exponentielle imaginaire est périodique, la réponse fréquentielle d’un filtre numérique est également périodique
+de fréquence, et sa représentation se fait dans le domaine de fréquences allant de $0$ à $fs/2$. <br>
+Le gain statique d’un filtre peut être calculé selon :
+$$\text{Gain statique d'un filtre} = \lim_{ s \to 0 } F(s) = \lim_{ z \to 1 } F(z)$$
+
+> [!NOTE|label:Passage pôle et zéro s ↔ z]
+> $$\begin{align}
+z&=\exp(s\cdot T_{s}) \\
+s&=\frac{1}{T_{s}\ln(z)}
+\end{align}$$
+
+![Filtre numérique passe bas ordre 2 - Réponse impulsionnel](medias/filtre_numerique_passe_bas_2-reponse.png ':size=40%')
+![Filtre numérique passe bas ordre 2 - Bode](medias/filtre_numerique_passe_bas_2-bode.png ':size=40%')
+
+## Transformation analogique-numérique
+La transformation bilinéaire : transformation de Tustin ou approximation de Padé de premier ordre
+$$s = \frac{2}{T_{s}} \frac{z-1}{z+1} \qquad \qquad z = \frac{1+\frac{1}{2}sT_{s}}{1-\frac{1}{2}sT_{s}}$$
+
+***Pour un filtre analogique de premier ordre :***
+$$F(s)=\frac{d_{0}+d_{1}s}{c_{0}+c_{1}s} \to F(z) = \frac{b_{1}z^{-1}+b_{0}}{a_{1}z^{-1}+1} $$
+$$
+a_{1} = \frac{c_{0}-\frac{2c_{1}}{T_{s}}}{c_{0}+\frac{2c_{1}}{T_{s}}}
+\qquad \qquad
+b_{0} = \frac{d_{0}+\frac{2d_{1}}{T_{s}}}{c_{0}+\frac{2c_{1}}{T_{s}}}
+\qquad \qquad
+b_{1} = \frac{d_{0}-\frac{2d_{1}}{T_{s}}}{c_{0}+\frac{2c_{1}}{T_{s}}}
+$$
+
+***Pour un filtre analogique de second ordre :***
+$$F(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}}{c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}}
+\to F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_{2}z^{-2}+b_{1}z^{-1}+b_{0}}{a_{2}z^{-2+}a_{1}z^{-1}+1} $$
+$$\begin{gather}
+C = c_{0}+\frac{2c_{1}}{T_{s}}+\frac{4c_{2}}{T_{s}^{2}} \\
+\\
+a_{1} = \frac{2\left( c_{0}-\frac{4c_{2}}{T_{s^{2}}} \right)}{C}
+\qquad \qquad
+a_{2} = \frac{ c_{0}-\frac{2c_{1}}{T_{s}}+\frac{4c_{2}}{T_{s^{2}}} }{C}
+\qquad \qquad
+b_{0} = \frac{d_{0}+\frac{2d_{1}}{T_{s}}+\frac{4d_{2}}{T_{s}^{2}}}{C} \\
+\\
+b_{1} = \frac{2\left( d_{0}-\frac{4d_{2}}{T_{s^{2}}} \right)}{C}
+\qquad \qquad
+b_{2} = \frac{d_{0}-\frac{2d_{1}}{T_{s}}+\frac{4d_{2}}{T_{s^{2}}}}{C}
+\end{gather}$$
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